圆的切线长定理？过圆外一点的切线方程公式推导

摘要： "切线长定理"通常是指圆的切线定理，也称为切线长定理。这定理表明，通过圆外一点引一条切线，切线与圆的切点之间的线段的平方等于从该外点引一条直径与切点之间的线段的乘积...

"切线长定理"通常是指圆的切线定理，也称为切线长定理。这定理表明，通过圆外一点引一条切线，切线与圆的切点之间的线段的平方等于从该外点引一条直径与切点之间的线段的乘积。

具体表达为：设圆心为O，圆上一点为A，圆外一点为P，从P引一条切线交圆于切点B，从P引一条直径与切点B之间的线段为OP。则有以下关系：

\[PA^2=PB\cdotPO\]

这个关系在几何学中有一些应用，特别是在与圆的切线和切点有关的问题中。

切线长定理：切线长定理是初等平面几何的一个定理。在圆中，在经过圆外一点的切线，这一点和切点之间的线段叫做这点到圆的切线长。它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

切线长定理推论：圆的外切四边形的两组对边的和相等；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圜的切线长定理是：由圆外一点向圆内引两条切线，它们切线的长相等。圆外这点和圆心的直线平分两条切线所夹的角。

圆切线长定理通常被运用到相似和全等三角形中，来证明两个角度相等或者两条线段相等，或者判断两三角形、两个圆的位置关系。

一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

二、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

圆的切线定理和割线定理是与圆有关的两条重要定理，它们描述了圆上的点与圆外一点之间的距离关系。

1.圆的切线定理：设圆心为$O$,半径为$r$,$P$为圆上任意一点，则过点$P$作圆的切线$l$,则有：

$$

l=OP+r

$$

其中，$OP$表示点$P$到圆心的距离，即$OP=\sqrt{x^2+y^2}$。这个定理表明，从圆上任意一点出发，经过该点的切线长度等于该点到圆心的距离加上半径。

2.圆的割线定理：设圆心为$O$,$A$、$B$、$C$分别为圆上的三个点，则有：

$$

AB\cdotAC=AP\cdotAD-BP\cdotBD

$$

其中，$AB$、$AC$、$AP$、$AD$、$BP$、$BD$分别表示线段$AB$、$AC$、$AP$、$AD$、$BP$、$BD$的长度。这个定理表明，从圆上的任意三点出发，连接这三点所形成的三条线段中，任意两条线段的乘积等于第三条线段的长度减去另外一条线段的长度。

这两个定理在解决与圆有关的问题时非常有用，例如计算圆上两点之间的最短距离、求解直线与圆的交点等等。